Un número especial

¿Existe alguna potencia de 2 (2n) tal que los últimos cinco dígitos del resultado sea una combinación de treses o seises? Se trata de encontrar los últimos cinco dígitos de dicho valor.

Por ejemplo, …36363 no sería una solución válida ya ninguna potencia de dos nos devolvería un resultado acabado en 3.

Para encontrar la respuesta, podemos seguir la siguiente deducción:

El último dígito debe ser 6 ya que si fuera 3, el número no sería divisible entre 2.

El penúltimo dígito debe ser 3 ya que si fuera 6, tendríamos 66 que no es divisible entre 4 (22).

El antepenúltimo dígito debe ser 3 ya que si fuera 6, tendríamos 636 que no es divisible entre 8 (23).

El siguiente dígito será 6 ya que 3336 no es divisible entre 16 (24)

Y el quinto dígito tiene que ser 6 ya que 36336 no es divisible entre 32 (25)

Esto es suficiente ya que 2n divide a 10n así que no importa cuales son los dígitos que preceden, todas las potencias de 2 cuyos últimos 5 dígitos del resultado sean una combinación de treses y seises, terminarán en 66336.

Esta es la única posibilidad ya que en base 10, la divisibilidad de los últimos n dígitos determina la divisibilidad entre 2n.

Para los más curiosos, las primeras potencias de 2 que terminan con estos cinco dígitos son:
21196, 23696, 26196… y todas las soluciones tienen la forma 21196+2500*k para k=0,1,2,…

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