Tres hermanas, tres edades

Tres hermanas aficionadas a los acertijos contestan siempre lo siguiente cuando les preguntan por la edad: El cuadrado de la edad de Ana más el cuadrado de la edad de Blanca más la edad de Carla es igual al cuadrado de la edad de Carla.

Cuando Ana tenga la edad que tiene Carla ahora, Carla tendrá 4 veces la edad que Ana tiene ahora y el doble de la edad que tiene Blanca ahora.

¿Cuántos años tiene cada una?

Si llamamos a a la edad de Ana, b a la de Blanca y c a la de Carla, la primera información que nos ofrecen nos proporciona directamente la ecuación a2 + b2 + c = c2.

Para la segunda información hay que pensar que para que Ana tenga la edad que tiene Carla ahora, tendrán que pasar c – a años, porque es la manera en que a + (c – a) = c. Que Carla entonces tenga cuatro veces la edad que tiene Ana ahora, quiere decir que c + c – a = 4a, o lo que es lo mismo, 2c = 5a.

Evidentemente, la última relación se puede expresar como 4a = 2b, o, lo que es lo mismo,
b = 2a.

Para resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos que substituir en la primera, que es de segundo grado. Para ello es conveniente despejar las incógnitas en las otras que menos aparecen, así que tenemos que b = 2a por la última ecuación, es decir que b2 = 4a2 de forma que la primera queda a2 + 4a2 + c = c2, o, lo que es lo mismo, 5a2 + c = c2.

De la otra ecuación obtenemos a = 2c/5, por lo que a2 = 4c2/25. Substituyendo en la primera ecuación, tenemos que 5*4c2/25 + c = c2, de donde 4c2/5 + c = c2. Quitando denominadores, tenemos que 4c2 + 5c = 5c2. Esta ecuación es equivalente a 0 = c2 – 5c, que es una ecuación de segundo grado con dos soluciones.

La solución c = 0 no tiene sentido en este problema (si Carla tiene 0 años, y también todas sus hermanas, Ana ya tiene la misma edad que Carla y el enunciado mismo no tendría sentido).

La otra solución es c = 5, y en ese caso a = 2 y b = 4. Podemos comprobar que esta solución encaja con el enunciado.

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