Sumando capicúas

Juan quería sumar todos los números capicúa de cuatro cifras pero se olvidó de sumar uno de ellos.

¿Qué número olvidó si la suma obtenida fue 490776?

Vamos a tratar de encontrar un atajo para sumar todos los capicúas que debería haber sumado Juan y después le restaremos la cantidad que él ha obtenido. Así determinaremos cuál ha dejado de sumar.

Como deberíamos escribir uno sobre otro todos los capicúas de cuatro cifras, lo primero que debemos plantearnos es un sistema mediante el cual nos aseguremos de tenerlos todos y después contar cuantas cifras de cada clase hemos usado.

La primera y la última cifra de cada capicúa (la de las unidades y la de unidades de millar) deben ser iguales y no pueden ser cero, pues se consideraría que el número tiene sólo tres cifras. Así que para la primera cifra tenemos nueve posibilidades. La segunda y la tercera, que también son iguales, sí pueden valer cualquier cifra, incluyendo el cero, de forma que tenemos diez posibilidades.

Si nos fijamos, entonces, al ponerlos en una columna (que será altísima), cada una de las nueve cifras de las unidades aparecerá repetida diez veces (porque, si fijamos una de ellas, sólo podremos escribir diez capicúas distintos), así que la suma de esa columna será (1 + 2 + … + 9)*10 = 10*(1 + 9)*9/2 = 450. Sitúo un 0 en las unidades de la suma, y me llevo 45.

En la columna de las decenas, sin embargo, aparecerán diez cifras distintas, pero repetidas cada una de ellas nueve veces. La suma será 9*(0 + 1 + … + 9) = 9*(9 + 0)*10/2 = 405. A esta cifra hay que sumar los 45 que nos llevamos, que nos proporciona un total de 450. De nuevo, situamos un cero y nos llevamos 45.

En la columna de las centenas, la suma será exactamente igual que la de las decenas, que para eso son capicúas, y dará de nuevo 405. Como nos llevábamos 45, vuelve a dar 450, de nuevo otro 0 y nos llevamos 45.

En la última columna, la de las unidades de millar, la suma es idéntica a la de las unidades, 450. Si le añadimos las 45 unidades de millar que nos sobraban de las centenas, tenemos 495, que son la cantidad definitiva de unidades de millar que tenemos.

En total, la suma debería dar 495000. Como a Juan había calculado 490776, vemos que la diferencia es exactamente 4224, que como no podía ser de otra forma, es capicúa y es el que le faltaba.

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