Problema en la juguetería

Han llegado 10 bolsas de canicas a la juguetería cada una de las cuales contiene 1000 canicas. El problema está en que han llegado las bolsas sin etiquetar y no podemos distinguir aquellas bolsas que contienen canicas de 9 gramos de las que contienen canicas de 10 gramos lo cual es un problema ya que se venden a precios distintos.

Tenemos una báscula en la tienda y sabemos que cada bolsa contiene canicas de un solo peso, o bien 9 gramos o bien 10 gramos.

¿Cuántas pesadas tendríamos que hacer como mínimo para poder identificar qué bolsas que contienen canicas de 9 gramos y cuales contienen canicas de 10 gramos?

Con una pesada sería suficiente. Ponemos las bolsas en orden y tomamos una cantidad de canicas de cada una que se corresponda con una potencia de 2. Así, tomaríamos 1 canica de la primera bolsa, 2 de la segunda, cuatro de la tercera, 8 de la cuarta y así hasta 512 canicas de la décima bolsa.

Al pesarlas, si todas las canicas pesaran 10 gramos, la báscula marcaría 10230 gramos pero dado que tendremos algunas canicas de 9 gramos el peso será 10230 – X. Una vez averiguamos X a partir del peso que marca la báscula, sabemos que se puede reescribir de manera única como suma de las potencias de dos y cada exponente de la potencia nos indicará la bolsa que contiene canicas de 9 gramos.

Así por ejemplo, si el peso obtenido fuera por ejemplo 9924 tendríamos que X = 10230 – 9924 = 306 = 22 + 25 + 26 + 29 por lo que sabemos que las bolsas 2, 5, 6 y 9 contienen canicas de 9 gramos.

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