Plátanos para el mono

Tres amigos se dirigen al mercado a lomos de sus mulas para comprar una partida de plátanos con intención de repartírsela al día siguiente.

Por la noche se levantó uno de ellos, se puso a contar los plátanos, e hizo tres partes. Tomó para si una de ellas y dejó el resto (otras dos partes). Como después del reparto le había sobrado un plátano se lo dió al mono.

Poco después se despertó otro rey y se fué a contar los plátanos para coger su tercera parte. Después de tomar esa cantidad y dejar las otras dos partes vió que sobraba un plátano y se lo dio al mono.

Por último, ya casi al amanecer, se levantó el tercer rey sin sospechar lo que habían hecho sus compañeros tomó la tercera de los plátanos que quedaban y como vió que sobraba un plátano, se lo dio al mono y se fué a acostar.

A la mañana siguiente se levantaron y ninguno confesó lo que había estado haciendo la noche anterior así que hicieron el reparto de los plátanos que había en ese momento, cada uno se llevó la tercera parte y sobró un plátano que le dieron al mono.

¿Cuál es el menor número posible de plátanos para poder hacer todos los repartos?

Definimos los siguientes valores:

E: Número total de plátanos (Lo que queremos averiguar).
D: Total de plátanos que se queda el primer amigo al hacer el reparto nocturno
C: Total de plátanos que se queda el segundo amigo al hacer el reparto nocturno
B: Total de plátanos que se queda el tercer amigo al hacer el reparto nocturno
A: Último reparto

El primer amigo reparte E – 1 plátanos en tres partes iguales y se queda una parte a la que llamamos D de forma que D = (E-1)/3 y deja en el montón 2 × D plátanos.

El segundo amigo repite la misma operación con 2 × D-1 plátanos ya que entrega un plátano al mono. De forma equivalente al caso anterior toma una parte para sí mismo a la que llamaremos C = (2 × D – 1)/3 y deja otras dos partes, es decir 2 × C.

Finalmente, el último amigo hace un nuevo reparto con los plátanos restantes menos uno que entrega al mono. De forma que cada parte a la que llamaremos B = (2 × C – 1) / 3.

A la mañana siguiente los plátanos restantes menos uno que se entrega al mono se reparten entre los tres. A cada una de las partes la llamaremos A = (2 × B – 1) / 3

Si juntamos las ecuaciones nos queda lo siguiente:
(81 × A + 65) / 8 = E

Se trata de una ecuación diofántica en la que sus soluciones son números enteros.

En este caso, el menor número de plátanos posible para poder realizar todos los repartos es de 79.

De esta forma:

– Si quitamos el plátano del mono el primer amigo tomó 78 : 3 = 26 plátanos y quedaron 79 – 1 – 26 = 52.
– El segundo amigo, tras quitar otra vez el plátano del mono, tomó 51 : 3 = 17 y quedaron 52 – 1 – 17 = 34 plátanos.
– El tercer amigo, tras entregar un plátano al mono se llevó 33 : 3 = 11 y quedaron 34 – 1 – 11 = 22 plátanos.
– de forma que en el reparto de la mañana dieron un plátano al mono y se repartieron los 21 restantes entre los tres es decir, 7 plátanos.

Plátanos para el mono
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