Los sombreros de los presos

Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color. Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás.

Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos comenzando por el último de la fila (que ve todos excepto el suyo) hasta el primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas. Los prisioneros no pueden hacerse señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz… deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo.

¿Se te ocurre alguna estrategia para salvar al mayor número posible de prisioneros?

Es posible salvar con seguridad a todos menos el último de la fila que tendrá un 50% de posibilidades de salvarse.

La estrategia seguida por los prisioneros consiste en “codificar” la paridad de uno de los dos colores de gorros de la fila. Así por ejemplo pueden acordar que el último de la fila (que será el primero en decir el color de su sombrero y que no puede saber cuál será) dirá “blanco” si el número total de sombreros blancos que ve es par o dirá “negro” si el número total de sombreros blancos que ve es impar.

Imagina que el primero ve 25 gorros blancos, que es un número impar. No sabe de qué color es el suyo, así que no puede estar seguro de qué tiene que decir para salvarse pero como la cantidad de gorros blancos que ve es impar y ha llegado a un acuerdo con sus compañeros, dice “negro”.

El segundo, como ha oído “negro”, sabe que el total de gorros blancos que ha visto el primero es impar, de forma que los cuenta y si ve una cantidad par, su gorro es blanco y si es impar, su gorro es negro. Así que lo dice.

El tercero sabe que, originalmente, la cantidad es impar (porque la primera información es que el color es negro, en caso contrario, sería par). Si el anterior a él ha dicho blanco, contando el suyo, debe quedar una cantidad par, y si ha dicho negro, impar. Estudiando la paridad de los que él ve, puede saber de qué color es el suyo. Negro, si la información que calcula coincide con la que ve, blanco en caso contrario.

En definitiva, la información que el primero trasmite es la paridad de la cantidad de blancos que él ve (negro es impar, blanco es par). Cada uno debe cambiar la paridad de par a impar cada vez que uno de los presos que habla dice “blanco”, y contar los que ve. Si la paridad que él calcula coincide con la información que le trasmiten, su gorro es negro, y si no coincide es blanco.

No hay un sistema mejor, ya que no hay forma de que el primero pueda conocer el color de su gorro, así que tendrá un 50% de probabilidad de fallar, se siga la estrategia que se siga.

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