Las nuevas estaciones del tren

En cada estación de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos como estaciones a las que se puede ir o desde las que se puede venir (los billetes de ida y los de vuelta son distintos). Se inauguran varias nuevas estaciones y eso obliga a imprimir 34 nuevos billetes distintos.

¿Cuántas estaciones había y cuántas nuevas se han inaugurado?

Primero intentamos buscar una relación entre el número de estaciones y de billetes que se pueden imprimir.

Estaciones
Billetes distintos
2
2
3
6
4
12
5
20
6
30
n
n(n-1)

Si llamamos n al número de estaciones que había inicialmente y x a las nuevas estaciones inauguradas tenemos que:

Estaciones
Billetes distintos
Antes
n
n(n-1)
Después
n+x
(n+x)(n+x-1)

De donde concluimos que:
(n+x)(n+x-1)-n(n-1)=34

Simplificamos la ecuación hasta conseguir la siguiente:
x(2n+x-1)=34

Si el producto de ambos términos es igual a treinta y cuatro tenemos dos posibilidades:
· x=1 y (2n+x-1)=34
· x=2 y (2n+x-1)=17

Como la línea tiene varias estaciones nuevas nos quedamos con la segunda opción, donde n=8 y x=2. Por lo tanto había 8 estaciones y se han inaugurado 2 nuevas estaciones.

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