La pareja de Belén

Belén invitó a diecisiete amigos a su fiesta de cumpleaños. A cada uno les asignó un número del 2 al 18, reservándose el 1 para ella. Cuando todos estaban bailando, se dió cuenta de que la suma de los números de cada pareja era un cuadrado perfecto.

¿Cuál es el número de la pareja de Belén?

El número más alto que se puede alcanzar sumando los que Belén ha repartido es 35 = 17 + 18, y el más bajo 3 = 1 + 2. Los cuadrados que se pueden lograr son por tanto: 4, 9, 16 y 25.

Con esta información, es evidente que la pareja de Belén puede ser el 3, el 8 o el 15. Para averiguarlo, debemos colocar las demás parejas para saber si hay una única solución, o bien se pueden dar varias situaciones.

Empecemos por eliminar los número más fáciles. Como 18 es mayor que 16, sólo puede estar bailando con 7, para sumar 25. Lo mismo sucede con 17, que ha de bailar con 8, y con 16, que baila con 9. Puesto que 7, 8 y 9 están ya emparejados, los suprimimos y vamos a anotar las demás posibilidades.

El 15 puede estar con 1 y con 10. El 14, con 2 y con 11. El 13, con 3 y con 12. El 12, con 13 y con 4. El 11, con 5 y con 14. El 10, con 6 y con 15. El 6, con 10 y con 3. El 5, con 11 y con 4. El 4, con 12 y con 5. El 3, con 13, con 6 y con 1. Y el 2 sólo puede bailar con 14. Con esta información montamos la siguiente tabla que nos ayudará a descartar casos:

Invitado Posible pareja
15 1, 10
14 2, 11
13 3, 12
12 4, 13
11 5, 14
10 6, 15
6 10, 3
5 11, 4
4 12, 5
3 13, 6, 1
2 14
1 15, 8, 3

Como el 2 sólo puede bailar con 14, éste está cogido. El 11 se ve obligado a bailar con el 5. Por esta razón, el 4 baila obligatoriamente con el 12. A su vez, eso obliga a que el 13 baile con el 3.

En este punto, el 6 ha de bailar con el 10 y por lo tanto el 15 bailará con el 1 que lleva Belén.

La pareja de Belén
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