La lotería primitiva

En el juego de la lotería primitiva debemos escoger 6 números entre el 1 y el 49. Mi hermano dice que en la mayoría de sorteos aparecen por lo menos dos números que son consecutivos y yo, sólo por llevar la contraria le digo que normalmente no aparecen dos números consecutivos. Dado que somos muy competitivos, decidimos jugarnos un euro para ver quién tiene razón.

¿Quién tiene razón?

La solución más sencilla pasa por calcular el número de combinaciones en las que no hay números consecutivos y restarlo luego del total.

Consideremos los dos conjuntos siguientes:

C1 = Combinaciones de 6 números del 1 al 49 tales que entre ellos no hay dos consecutivos.

C2 = Combinaciones cualesquiera de números del 1 al 44.

Ambos conjuntos tienen igual número de elementos, dado que existe entre ellos la siguiente correspondencia biunívoca: (a,b,c,d,e,f) (a,b-1,c-2,d-3,e-4,f-5)

dónde a,b,c,d,e,f son números entre 1 y 49 tales que no hay entre ellos dos consecutivos. Por ejemplo, la combinación (1,5,7,20,35,49) de C1 se correspondería con la (1,4,5,17,31,44) de C2. El número de C2 es el combinacional de 44 sobre 6 = 7.059.052. Puesto que C1 y C2 tienen el mismo número de elementos Card(C1)=Card(C2)=7.059.052.

La cantidad total de combinaciones de la Lotería Primitiva es el combinacional de 49 sobre 6 = 13.983.816.

Luego, el número de tales combinaciones en las que no hay dos elementos consecutivos es la diferencia: 13.983.816 – 7.059.052 = 6.924.764

La probabilidad de que salgan dos números consecutivos cualesquiera en un sorteo es, en consecuencia 49,52% así que yo tenía razón y en la mayoría de sorteos no aparecen dos números consecutivos.
(aunque por muy poco)

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