La herencia de los cuatro hermanos

Cuatro hermanos habían heredado 4500 euros con un reparto no equitativo un tanto peculiar.

El tercero de ellos dijo: “Si al primero le diesen 200, al segundo le quitasen 200, a mí me doblasen lo que tengo y al cuarto se lo redujesen a la mitad, todos tendríamos al final lo mismo”.

¿Cuánto había heredado cada hermano?

Extraído de la página problemate.blogspot.com.es

Vamos a distinguir entre antes y después de los cambios que propone el tercero de los hermanos. Está claro que después, todos tendrán lo mismo. Si la suma se mantuviese, está claro que cada uno tendría el total dividido por cuatro, pero puede que la suma no se mantenga.

Como al primero le sumamos 200 y al segundo le quitamos 200, está claro que la suma de ambos se mantiene. Sin embargo, al tercero le duplicamos lo que tenga y al segundo le quitamos la mitad. Está claro que si al final tienen lo mismo, el tercero tiene que tener menos que el cuarto. Concretamente, tiene que tener la cuarta parte, porque si no, al final, no tendrían lo mismo.

Imagina un caso concreto, en el que el tercero tenga 300 y el cuarto tenga 1200. La suma de ambos es 1500. Sin embargo, si duplicamos el tercero, tiene 600, y si dividimos por dos el cuarto, tiene 600, y la suma de ambos ahora es sólo de 1200. Por el camino se ha perdido la cuarta parte de lo que tenía el cuarto, es decir, lo que tenía originalmente el tercero, o la mitad de lo que tiene al final. Comprobemos otra vez que sucede. Si uno tiene 12 y el otro 48, la suma es 60. Si duplicamos 12 y dividimos entre 2 48, ambos tienen 24, pero la suma ha descendido en 12 y ahora sólo da 48.

Esto se complica más, porque hay otros dos que al final tienen lo mismo y la suma de ambos sí permanece constante. Imagina el caso anterior, al final todos tienen 24, es decir, por el camino se pierden 12, luego el total que había al principio es 24*4 + 12 (los 12 que se han perdido). Es decir, es como si tuviésemos cuatro hermanos y medio, y al transformar el dinero como pide el tercer hermano, el capital del medio se perdiera.

En nuestro ejemplo, 4500 dividido entre 4,5 da 1000, es decir, que al final todos tendrán 1000 y se habrán perdido 500. Al principio, el primer hermano tendría 800, para que al sumarle 200 dé 1000. El segundo hermano tendrá 1200, para que al restarle 200 también dé 1000. El tercero tendrá 500, para que al duplicarle dé 1000, y el cuarto tendrá 2000, para que al dividirlo entre 2 también dé 1000.
En total, podemos comprobar que suma 800 + 1200 + 500 + 2000 = 4500.

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