La bola de cristal

Cuentan que cuando un gran adivino, al construir su nueva bola de cristal, quiso conocer la resistencia de esta a las caídas. Así que fabricó tres bolas iguales, se guardó una para él y entregó las otras dos a su aprendiz a quien encomendó la misión de comprobar la resistencia de las mismas. Para ello le ordenó dirigirse al edificio más alto de la ciudad con 117 pisos de altura y le dijo: debes subir al primer piso del edificio y lanzar la bola por la ventana. Si la bola no se rompe, baja a recogerla y repite la prueba en el segundo piso. Haz lo mismo para cada uno de los pisos del edificio hasta averiguar qué altura es capaz de resistir la bola sin romperse. Ten cuidado por que únicamente dispones de dos bolas y cuando rompas la segunda ya no podrás hacer más pruebas.

El aprendiz de mago que no era demasiado trabajador pensó en la manera de hacer la comprobación que le encargó el mago con el menor número de pruebas posible, ya que le parecía una tarea muy ardua subir y bajar escaleras tantas veces y en el peor de los casos tendría que hacer ¡117 pruebas!.

¿Se te ocurre alguna manera más eficiente para encontrar el piso en el que se romperían las bolas sin necesidad de probar todos los pisos uno a uno?

Extraído de la página Zurditorium.com

Es posible hacer la comprobación lanzando como máximo 15 veces la bola.

La estrategia consistirá en hacer una prueba en un piso determinado de manera que en caso de rotura de la primera bola se pueda acotar el número de intentos con la segunda bola en los pisos inferiores. Llamaremos X al número máximo de comprobaciones que deseamos realizar. Así sabemos que si lanzamos la primera bola desde el piso X y esta se rompe, tendremos que probar todos los pisos inferiores desde 1 hasta X-1 lo que hará un máximo de X pruebas.

Si en el piso X la bola no se rompe, nos quedarán X-1 comprobaciones por lo que podemos probar en el piso X + (X-1). Si la primera bola se rompe tendremos que probar uno a uno todos los pisos desde X+1 hasta X + (X-1) – 1 hasta que la segunda bola se rompa lo que hará de nuevo un máximo de X pruebas.

Siguiendo el mismo procedimiento, el siguiente piso a probar sería el X + (X-1) + (X-2). De nuevo, si la primera bola se rompe en dicho piso, tendremos que probar uno a uno todos los pisos desde X + (X-1) + 1 hasta X + (X-1) + (X-2) – 1 con la segunda bola hasta que esta se rompa.

Si nos fijamos estamos creando una ecuación X + (X-1) + (X-2) + (X-3) + … + (X-(X-1)) cuya suma debe ser mayor o igual al número de pisos total.

Así, por ejemplo si tomamos X=14 tendríamos 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 por lo que en el peor de los casos no llegaríamos a la altura total del edificio y si tomamos X=15 tendríamos 15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=120 por lo que tendríamos suficiente para probar todos los pisos necesarios siguiendo el sistema descrito.

Así, la estrategia sería la siguiente:

Hacemos la primera prueba en el piso 15. Si la bola se rompe, probamos entonces con la segunda bola uno a uno todos los pisos que van desde el 1 al 14 hasta que la segunda bola se rompa y esa será la altura máxima que resiste la bola.

Si la primera bola no se rompe en el piso 15, en el segundo intento la lanzaremos desde el piso 15+14=29.
Si la primera bola se rompe, iremos probando con la segunda bola uno a uno todos los pisos desde el 16 hasta el 28 (13 pisos) hasta que se rompa.

Si la primera bola no se rompió en el piso 29, probamos ahora en el piso 15+14+13=42, si se rompe, tendríamos que probar uno a uno todos los pisos desde el 30 hasta el 41 hasta encontrar el piso en el que se rompe la segunda bola.

Y seguiríamos con este procedimiento hasta llegar al piso 117. Está claro que de esta forma encontraríamos el piso más alto desde el que podemos lanzar la bola sin que se rompa a lo sumo en 15 intentos.

Encontrarás una solución más detallada en la página Zurditorium.com

La bola de cristal
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