La apuesta

Una persona quiere conseguir 5.000 euros jugando a un juego de azar que consiste en apostar una cantidad de dinero, que debe ser siempre múltiplo de 1.000, de tal manera que, si gana, recupera el doble de lo apostado y si pierde se queda sin el dinero apostado.

El jugador parte con 1.000 euros y juega siempre en cada apuesta de la manera más arriesgada posible para lograr exactamente su objetivo aplicando la lógica. Así, por ejemplo: si tiene 2.000 euros se jugará los 2.000, mientras que si hubiera conseguido 3.000 euros no los jugaría en su totalidad, sino que apostaría únicamente 2.000 euros, ya que en el caso de ganar conseguiría los 5.000 euros y si perdiera se quedaría con 1.000, con la posibilidad de volver a jugar.

Si sabemos que la probabilidad de ganar o perder en cada apuesta es la misma,

¿Qué probabilidad tiene de conseguir los 5.000 euros?

Analicemos las diferentes opciones que tiene nuestro jugador. Empieza con 1000 euros y tiene 1/2 de probabilidad de perderlos y 1/2 de conseguir 2000.

En el caso de que tenga 2000, lo apostará todo, y de nuevo tiene 1/2 de posibilidades de perderlo todo y 1/2 de conseguir 4000.

Si tiene 4000, apostará sólo 1.000 y tendrá 1/2 de probabilidad de pasar a tener 3000 y 1/2 de acabar con éxito el juego.

Por último, si juega con 3000, tendrá 1/2 de probabilidad de conseguir ganar y 1/2 de volver a tener 1000.

Podemos hacer un sistema de ecuaciones con las probabilidades de ganar y perder a partir de cada una de las cantidades. Podemos llamar P1 a la probabilidad de ganar si tienes 1000, P2 a la probabilidad de ganar si tienes 2000, P3 a la que tienes de ganar si tienes 3000, y P4 si tienes 4000. Puesto que todas estas situaciones son inestables, excepto perderlo todo o ganar, sabemos que la probabilidad de ganar y de perder suman uno en cualquier caso.

Si nos imaginamos que repetimos la experiencia muchas veces, es fácil pensar que la mitad de los que empiezan con 1000 euros pierden, mientras que la mitad pasa a tener 2000. Por lo tanto, P1 = P2/2. De los que tienen 2000, pasa otro tanto, por lo que P2 = P4/2. De la misma forma, P4 = 1/2 + P3, y P3 = 1/2 + P1. De esta forma, tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Eliminando primero P4, tenemos que P1 = P2/2, P2 = 1/4 + P3/4 y P3 = 1/2 + P1/2.
Eliminando después P3, nos queda que P1 = P2/2 y P2 = 3/8 + P1/8, de donde P1 = 3/16 + P1/16, es decir, que 16P1 = 3 + P1, de donde P1 = 1/5.

La apuesta
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