El señor euritis

El señor Euritis quiere repartir 2008 euros entre Alberto, Benito y Carlos de la siguiente manera: da 1€ a Alberto, 2€ a Benito, 3€ a Carlos, después, 4€ a Alberto, 5€ a Benito, 6€ a Carlos, y así sucesivamente, hasta que se le acaba el dinero o no puede entregar la cantidad que toca.

¿Cuánto dinero recibe Benito y cuanto dinero le quedará al señor Euritis?

Extraído de la página problemate.blogspot.com.es.

Si tratamos de calcular cuántas vueltas da el señor Euritis sumando uno a uno los euros que va entregando, probablemente nos cansaremos, pero hay truco.

Por ejemplo, en la cuarta vuelta, tendremos que sumar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, que es una suma larga. Si la agrupamos de cierta forma, probablemente parezca otra cosa. Verás que si ponemos 1 + 12 + 2 + 11 + 3 + 10 + 4 + 9 + 5 + 8 + 6 + 7, hay una interesante regularidad: cada dos sumandos suman lo mismo, es decir, es 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13, o lo que es lo mismo 13 seis veces. Y son seis veces porque es la mitad de la suma total. Como 13*6 = 65, aún estamos lejos del 2008, pero tenemos un método.

¿Y si el número de sumandos es impar? Pues también sale. Imagina que sumamos hasta la quinta vuelta, tenemos que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 1 + 15 + 2 + 14 + 3 + 13 + 4 + 12 + 5 + 11 + 6 + 10 + 7 + 9 + 8 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 8 = 16*7,5 = 120. Observa que aunque emparejamos todos los sumandos, uno se queda sin pareja, ya que es impar, pero vale exactamente la mitad que la suma de dos, así que es como si tuvieses la mitad exacta de sumandos que antes.

Si suponemos que ha hecho n vueltas sumando euros, tendremos que ha repartido 1 + 2 + 3 + … + 3n = (3n + 1)*3n/2, es decir, la suma del último más el primero por el total de sumandos partido por 2.

Y este número queremos que se aproxime a 2008, es decir, que (3n + 1)*3n/2 = 2008 (aproximadamente). Si lo resolvemos como si fuese una ecuación, multiplicamos por 2, y queda (3n + 1)*3n = 4016, de donde 9n2 + 3n = 4016, y nos queda la ecuación de segundo grado 9n2 + 3n – 4016 = 0. Claro, que no buscamos la solución exacta, si no la que más cerca de 2008 produzca el resultado sin pasarse. La solución negativa no nos interesa, así que tendríamos que n vale, aproximadamente, (-3 + √(9+4*9*4016))/(2*9). La expresión de dentro de la raíz es 144585, cuya raíz, redondeando, es 380. Si le restamos tres es 377, que, al dividirlo entre 18 no da exacto, redondeamos a la baja a 20.

Para n = 20, la suma da 1830, mientras que para 21 da 2016.

Luego en las series de entrega de dinero, parará en la número 20, y le sobrará 2008 – 1830 = 178€.

¿Cuánto le habrá dado a Benito? Para calcular esto, debemos sumar 2 + 5 + 8 + … + 56 + 59, que será el sumando que situemos en la posición 20. De nuevo, observamos que 2 + 59 = 5 + 56 = 61, si elegimos los 20 sumandos de forma conveniente tendremos 10 veces 61, que supone un total para Benito de 610€.

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