El mono y los cocos

Cinco hombres naufragan en una isla desierta en la que vive un solitario mono. Los hombres pasan todo el primer día recogiendo cocos para alimentarse y deciden repartirlos entre todos al día siguiente. Por la noche uno de ellos despierta y desconfiado, decide separar su parte. Divide los cocos en cinco montones toma su parte y como sobra un coco se lo da al mono. Poco después un segundo náufrago se despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones vuelve a sobrar un coco y también se lo da al mono. Uno tras otro todos náufragos hacen lo mismo. Al día siguiente por la mañana ninguno de los naufragos confiesa y se dividen los cocos restantes en cinco montones sin que sobre ninguno.

¿Cuántos cocos habían recolectado exactamente si sabemos que cada hora un náufrago recogía entre 50 y 55 cocos y que estuvieron 12 horas recogiendo cocos?

Si representamos por x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} el número de cocos que toma cada uno de los naúfragos y x_{6} el total de las existencias,
se origina el siguiente sistema de ecuaciones:

x_{6} - 5x_{1} = 1\\\\ 4x_{1} - 5x_{2} = 1\\\\ 4x_{2} - 5x_{3} = 1\\\\ 4x_{3} - 5x_{4} = 1\\\\ 4x_{4} - 5x_{5} = 1

Se trata de un sistema de ecuaciones diofántico en el que las soluciones posibles deben ser números enteros.

Donde el resultado es:

x_{1} = 624\\\\ x_{2} = 499\\\\ x_{3} = 399\\\\ x_{4} = 319\\\\ x_{5} = 255\\\\ x_{6} = 3121

De forma que el número total de cocos recolectados fué de 3121 ya que según el enunciado recolectaron entre de 50 × 5 × 12 = 3000 y 55 × 5 × 12 = 3300 cocos y otras soluciones de la ecuación quedarían fuera de este intervalo.

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