El examen de geometría

Antonio, Berta y Carlos son tres estudiantes que participan en una serie de exámenes. En cada prueba, el que queda primero recibe x puntos, el segundo recibe y puntos y el tercero z puntos, donde x, y, z, son números enteros mayores que cero y obviamente se cumple que x es mayor que y y que y es mayor que z.
No son posibles los empates.

En total, Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en el exámen de Algebra.

¿Quién quedó segundo en el exámen de geometría?

El número total de puntos acumulado en las pruebas es 20+10+9 = 39 puntos. Como 39 = 13*3, la suma x+y+z debe valer uno u otro factor. Descartemos el 3, pues entonces debería ser x=2; y=1; z=0, en contra de lo supuesto. Por tanto x+y+z = 13. Puesto que se han celebrado tres pruebas, el mejor puntuado no superará los máximos de cada una, es decir que 3x>=20. Luego x>=7. Análogamente 3z<=9 o sea que z<=3.

Si x=7, la puntuación de Antonio exigiría que y=6, lo que no puede ser (pues entonces z=0). Probemos con x=8. Entonces y=4 y z=1. Las pruebas se desarrollaron así:

PRUEBA/ALUMNO
Antonio
Berta
Carlos
1
8
1
4
2
4
8
1
3
8
1
4

No caben más posibilidades, pues si x=9, sería y=2, z=1, y las condiciones impuestas no se cumplen.
Por lo tanto, Carlos quedó segundo en los otros dos exámenes incluyendo el de geometría.

El examen de geometría
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