El concurso de televisión

En un concurso televisado compiten dos equipos realizando distintas pruebas. El ganador de cada prueba recibe una cantidad fija de puntos (la misma en todas las pruebas) y el perdedor recibe una cantidad fija de puntos menor que la del ganador.

Al cabo de varias pruebas, un equipo tiene 231 puntos y otro, que ganó exactamente 3 pruebas, tiene 176 puntos.

¿Cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor en cada prueba?

Cada vez que se concursa en el programa la diferencia entre ambos equipos aumenta o disminuye en cierta cantidad, según que pierdan o ganen. Puesto que las puntuaciones finales son de 231 para un equipo y de 176 para el otro, está claro que el primero ganó más que el segundo, es decir, más de tres veces, y el equipo con menos puntuación ganó tres veces.

Observa que la diferencia entre ambos equipos es de 231 – 176 = 55, por lo que 55 debe ser un múltiplo de la diferencia entre los puntos que dan al ganador, y los que dan al perdedor. Según esto, tenemos 4 posibles diferencias, 1, 5, 11, y 55, que son todos los divisores.

Si la diferencia entre lo que reciben fuese 55, el primer equipo tendría que haber ganado 4 veces y el otro, 3. Sumando entonces ambos resultados, sería el total de haber ganado y perdido 7 veces, es decir, que 231 + 176 = 407 sería divisible entre 7, y no lo es. Por tanto no puede ser 55.

De la misma forma, si fuese 11, entonces el primer equipo habría ganado 8 veces y el segundo, 3. Y como 407 es múltiplo de 8 + 3 = 11, podría ser que la suma de lo que ganan en los dos casos fuese 37, porque 407 = 37*11. Como la diferencia es 11, si a 37 le quitamos 11, debe quedar el doble de lo que obtienes cuando pierdes, es decir, 26. Eso quiere decir que cuando pierdes te dan 13 y cuando ganas, 24. Como 13*3 + 8*24 = 39 + 192 = 231, y 13*8 + 24*3 = 104 + 72 = 176, es perfectamente posible.

Observa que lo que les dan a los dos juntos es el doble de lo que le dan al que pierde, más la diferencia entre lo que gana el que gana y lo que gana el que pierde, por eso se puede saber.

El concurso de televisión
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