El coleccionista de monedas

Un coleccionista tiene cierta cantidad de monedas, todas de pesos distintos. Si retira las 3 monedas más pesadas, el peso total de todas las monedas que tenía disminuye en 35%. Si retira, de las monedas restantes, las 3 más livianas, el peso total de dichas monedas restantes disminuye en 5/13.

¿Cuántas monedas tenía originalmente el coleccionista?

Las 3 monedas más pesadas son el 35%, luego la media (porque no pueden tener el mismo peso) es 11’67%
Por otro lado, las tres menos pesadas son el 25% del total (65%*5/13), por lo que la media es 8’33%
Entonces tenemos que buscar un número de monedas cuyo peso sea el 40% y que tenga de media entre 8’33% y 11’67%
Esto nos hace que necesitemos 4 monedas (con pesos entre el de la más ligera de las pesadas y la más pesada de las livianas), con una media que rondaría el 10%

Llamemos a, c, b respectivamente al peso de las 3 más ligeras, las tres más pesadas, y el resto.

– De las condiciones dadas es fácil escribir dos ecuaciones y poner b y c en función de a.

– Si no me equivoqué en las cuentas sale: b = 8a/5; c = 7a/5;

– Ahora la cosa es saber cuántas monedas conforman el peso b. Llamemos n a ese número. La clave está en que la moneda menos pesada de las de b tiene que pesar más que las 3 ligeras y la más pesada menos que las 3 más pesadas.

– En las tres más ligeras al menos hay una moneda que pesa a/3 o más. En las tres más pesadas al menos hay una moneda que pesa c/3 o menos. Lo mismo para las monedas “centrales”.

– De ahí:

a/3 <= 8a/5n <= 7a/15 Como n es entero sólo habrá una solución y el número pedido es n+6. 10 monedas.

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