El buscador de oro

Un buscador de oro llegó a una posada en la que se disponía a alojarse durante 31 días. El posadero solicitó por adelantado el dinero del alojamiento pero el buscador de oro no se fiaba así que le propuso un trato:

Dispongo de una barra de oro de 31 centímetros de largo que tiene un valor igual al coste del alojamiento durante los 31 días. Cortaré la barra en pedazos más pequeños de forma que el primer día le entregaré un centímetro de la barra como pago por mi alojamiento y cada día que pase le entregaré otro centímetro más. Al finalizar la estancia le habré entregado los 31 trozos por lo que habré saldado mi deuda.

Una manera de cortar la barra consiste en dividirla en 31 partes cada una de un centímetro de largo de forma que entregaríamos una porción cada día. Pero como era una tarea muy laboriosa cortarla en tantos trozos, el buscador se las ingenió para dividirla en el menor número de trozos que le permitirera saldar la deuda diariamente así, por ejemplo, el primer día podía entregarle al posadero un centímetro de la barra, otro centímetro el segundo día y el tercer día podía entregarle un trozo de tres centímetros y recibir a cambio las dos partes anteriores de un centímetro.

¿Cuál es el menor número de partes en las que el buscador debe dividir su barra de oro para satisfacer su deuda?

El buscador puede cumplir el trato cortando la barra en cinco partes de 1cm, 2cm, 4cm, 8cm y 16cm de longitud.
El primer día le entrega al posadero el trozo de 1cm, el día siguiente el posadero se lo devuelve y él le entrega el pedazo de 2cm, el tercer día él le entrega de nuevo el trozo de 1cm, el cuarto día el posadero le devuelve ambas piezas y él le da el pedazo de barra de de 4cm. Al entregar y recibir de ésta manera el buscador puede agregar un centímetro por día y cubrir así los 31 días del mes tal como se muestra en la siguiente tabla:

Días / Trozos
1
2
4
8
16
1
X
2
X
3
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X
4
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5
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6
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