Coleccionistas de cuadros

Agustín, Benito, Carlos, Diego, Esteban y Federico son seis coleccionistas de cuadros de los que dos de ellos son hermanos. Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera: Agustín compró

1 cuadro, Benito compró 2, Carlos 3, Diego 4, Esteban 5 y Federico 6 cuadros.

Los dos hermanos pagaron la misma cantidad de dinero por cada uno de los cuadros que compraron. El resto de personas del grupo pagaron el doble por cada cuadro de lo que pagaron los hermanos por cada uno de los suyos. En total, los seis coleccionistas se gastaron 100.000€. Sabemos que el precio de cada cuadro era un número entero de euros.

¿Quiénes son los hermanos?

En total tenemos 21 cuadros. Llamemos y al número de cuadros que compran los hermanos, z al número de cuadros que compran los demás coleccionistas y x a lo que les cuesta a los hermanos cada cuadro.

Entonces tenemos que xy+2xz=100.000 y y+z=21. De donde obtenemos que x(y+2z)=100.000 y por lo tanto x(21+z)=100.000.

z podría ser 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18 (todas las posibles combinaciones de sumas de 4 de las seis cantidades de cuadros compradas: 1, 2, 3, 4, 5 y 6) pero z solo puede ser 11, ya que al sumarle z a 21 ha de dar un divisor de 100000.

Al ser z=11, y será 10. Los dos únicos que pueden sumar 10 cuadros son los que compraron 4 y 6 así que los hermanos son por tanto Diego y Federico.

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