1020 apretones de manos

Los participantes de una olimpiada matemática están ocupando todos los asientos de un salón rectangular en el que los asientos están alineados en filas y columnas.

Al inicio de la prueba, un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano de manera que cada uno de los concursantes estrecha la mano de los que están junto a él (delante, detrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos.

Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos. ¿Cuántos participantes hay, si se sabe que el número de filas es múltiplo de 7?

Casos posibles:

El caso mínimo que cumple todas las condiciones, salvo la cantidad de apretones de manos, sería el que tiene siete filas, tres asientos en cada fila y 21 participantes en total. Para contar los apretones (ver imagen) habrá que tener en cuenta que los cuatro participantes de las esquinas sólo dan la mano a tres participantes (líneas azules), los que están situados en los lados, que en este caso son 12, dan la mano a 5 participantes cada uno (líneas rojas), y que los que se sientan en uno de los asientos restantes, 5 en este caso, dan la mano a 8 (lineas verdes).

En total, podríamos decir que si sumamos las manos tendidas que dan todos los participantes, tendríamos 4*3 + 12*5 + 5*8 = 12 + 60 + 40 = 112 manos. Sin embargo, hay un pequeño detalle que hay que tener en cuenta,y es que en cada apretón de manos intervienen dos personas, de forma que sólo se dan 56 apretones, en realidad.

Este cálculo está muy lejos de los 1020 de los que nos habla el problema, así que con toda probabilidad hay más filas, o columnas, o ambas cosas.

Supongamos que añadimos una columna de asientos (es decir, una más en cada fila). Si la añadimos al final o al principio, habrá cambios en la cantidad de manos tendidas que tendrá que ofrecer la gente que ya estaba situada, de forma que la añadiremos entre la primera y la segunda columna, es decir, que añadiremos 2 asientos de primera y última fila y 5 de los asientos interiores, es decir, 2*5 + 5*8 = 50 manos tendidas, o 25 apretones más. Cada columna que añadamos aporta, por tanto, 25 apretones de manos, con lo que nunca llegaríamos a 1020 (56 + n*25 nunca puede ser 1020 para ningún n, como es fácil comprobar).

Si aumentamos el número de filas de la cantidad inicial, sólo podemos hacerlo de 7 en 7, es decir, que añadiríamos 14 asientos de principio o final de fila y 7 interiores (de nuevo se supone que no las añadimos al final o al principio, para simplificar los cálculos). En total, serían 14*5 + 7*8 = 126 manos tendidas, o 63 apretones. En total, tendríamos ahora 119 apretones. Ahora, aumentando columna a columna, añadimos 2*5 + 12*8 = 106 manos, o 53 apretones. Por tanto, el número sería 119 + n*53, con n el número de columnas. Si planteamos 1020 = 119 + n*53, tenemos que n = (1020 – 119)/53 = 901/53 = 17. Es decir, que con 14 filas y 20 asientos por fila (columnas) tendríamos 1020 apretones.

1020 apretones de manos
Vota este enigma



Dejar respuesta

Please enter your comment!
Please enter your name here