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Con esta entrada dedicada a las series numéricas, inauguramos una nueva sección en la que hablaremos de test psicotécnicos, y de cómo superarlos con éxito.

Veremos diferentes tipos de preguntas, y algunas técnicas que nos ayudarán a encontrar la solución en cada caso.

Las series numéricas son el tipo de pregunta más habitual que nos encontraremos en los test psicotécnicos, y consiste, en una secuencia de números, en la que cada elemento se puede deducir, mediante un proceso lógico o de cálculo matemático.

Series aritméticas de factor fijo

Comencemos con un ejemplo muy fácil, que nos ayudará a ver cómo se comportan este tipo de series.

¿Sabrías decir cuál es el número que continúa esta serie?

1  · 2 · 3 · 4 · 5 · ?

Evidentemente , el siguiente elemento de la serie es el número 6. Se trata de una serie creciente, ya que el incremento entre cada elemento es positivo, concretamente: (+1). A este valor lo llamaremos el factor de la serie.

Es un caso sencillo pero ya nos muestra la base de este tipo de series, y es que: cada elemento de la serie, se obtiene sumando un valor fijo, al elemento anterior.

Si el valor fijo o factor, es positivo, la serie será creciente, y si es negativo, será decreciente.

Esta misma idea se puede emplear, para crear series más complicadas, pero que siguen el mismo principio. Mira este otro ejemplo:

27 · 38 · 49 · 60 · ?

¿Adivinas cuál es el número que continúa la serie?

En este caso, el siguiente valor sería el 71.

Se trata de una serie, del mismo tipo de la que hemos visto antes, solo que, en este caso, el incremento entre cada dos elementos es de +11 unidades.

En un test psicotécnico, para ver si nos encontramos ante una serie de factor fijo, es útil hacer la resta de cada pareja de valores, para ver si siempre coincide.

Vamos a verlo más gráficamente con este otro ejemplo. ¿Adivinas, cuál es el siguiente elemento de esta serie?

4 · 1 · -2 · -5 · ?

Aunque veamos que el factor, se repite en los primeros elementos, es importante hacer la resta para TODOS los términos de la serie, ya que podría darse el caso de que se tratara de una serie que evoluciona de manera distinta y la única manera que tenemos de asegurarnos, es calculando la diferencia entre todos los elementos.

Vamos a colocar el valor de esta resta entre cada pareja de números:

4   ·   (-3)   ·   1   ·   (-3)   ·   -2   ·   (-3)   ·   -5   ·   ? 

A la serie original la la llamaremos: serie principal. A la serie formada por el diferencial entre cada dos elementos (números entre paréntesis) la llamaremos: serie secundaria.

Vemos que la diferencia es la misma en todas las parejas de elementos, así que podemos deducir que el siguiente término de la serie principal se obtiene restando 3 al último valor, el -5, con lo que nos quedará -8.

En este caso, se trata de una serie decreciente, con factor fijo (-3), y con la dificultad añadida, de que tenemos valores positivos y negativos en la serie, ya que atravesamos el cero, pero el mecanismo utilizado, continúa siendo exactamente el mismo, que el de la primera serie que vimos.

Normalmente, los test psicotécnicos están estructurados con dificultad creciente, de manera que los problemas, son cada vez más complicados y nos llevará más tiempo resolverlos según vamos avanzando.

Sabiendo esto, es muy probable, que las primeras series que nos encontremos sean de este tipo y se pueden resolver fácil y rápidamente con un poco de agilidad en el cálculo mental.

Series aritméticas de factor variable

Mira esta serie e intenta resolverla:

1 · 2 · 4 · 7 · 11 · 16 · ?

¿Sabes cómo continua?

A primera vista puede que no resulte evidente, así que vamos a aplicar la técnica que hemos aprendido antes.

Vamos a hacer la resta entre cada pareja de números consecutivos a ver si averiguamos algo:

Serie principal: 1 · 2 · 4 · 7 · 11 · 16 · ?

Serie secundaria: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

Diferencial de la serie secundaria: 1 · 1 · 1 · 1

Al hacer la resta, vemos claramente, que nos aparece una serie secundaria incremental, como las que vimos en el apartado anterior, de manera que, el salto entre cada dos valores de la serie principal, no es un factor fijo, sino que viene definido por una serie con incremento fijo +1.

Por lo tanto, el siguiente valor de la serie secundaria será 6, y no tenemos más que sumarlo, al último valor de la serie principal, para obtener el resultado: 16 + 6 = 22.

Aquí hemos tenido que trabajar un poco más, pero no hemos hecho más que seguir el mismo método dos veces. Primero, para obtener la serie del factor variable y luego para obtener el incremento de esta nueva serie.

Vamos a plantearte otra serie que sigue esta misma lógica. Intenta resolverla:

6 · 9 · 15 · 24 · 36 · ?

Vamos a seguir el método de las restas que conocemos para resolverla:

Serie principal: 6 · 9 · 15 · 24 · 36 · ?

Serie secundaria: 3 · 6 ·   9  · 12

Y vamos a aplicar de nuevo el método de las restas con la serie secundaria:

Serie terciaria: 3 · 3  ·  3 (Diferencial de la serie secundaria)

O sea que nuestra serie principal, se incrementa según una serie secundaria, que aumenta de tres en tres.

Por lo tanto, el siguiente elemento de la serie secundaria será 12 + 3 = 15 y este será el valor que hay que sumar al último elemento de la serie principal para obtener el siguiente elemento: 36 + 15 = 51.

Podemos llegar a encontrarnos con series, que necesiten, más de dos niveles de profundidad para dar con la solución, pero el método que emplearemos para resolverlas es el mismo.

Series geométricas con factor fijo

Hasta ahora, en las series que hemos visto, cada nuevo valor, se calculaba mediante sumas o restas sobre el elemento anterior de la serie, pero también es posible que el incremento de los valores se produzca, multiplicando o dividiendo sus elementos por un valor fijo.

Las series de este tipo, se pueden detectar fácilmente ya que sus elementos crecen o decrecen muy rápidamente, según si la operación aplicada es, una multiplicación, o una división respectivamente.

Vamos a ver un ejemplo:

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · ?

Si aplicamos a esta serie, el método que hemos visto antes, vemos que no llegamos a ninguna conclusión clara.

Serie secundaria: 1 · 2 · 4 ·  8

Serie terciaria: 1 · 2 · 4

Pero si nos fijamos, en que la serie crece con mucha rapidez, podemos suponer que el incremento, se calcula con una operación de multiplicación, así que lo que haremos es intentar buscar un vínculo, entre cada elemento, y el siguiente, utilizando el producto.

¿Por qué número hemos de multiplicar 1 para conseguir 2? Pues evidentemente por el 2: 1 x 2 = 2.

Y vemos que, si lo hacemos con todos los elementos de la serie, cada uno es el resultado de multiplicar el valor anterior por 2, así que el siguiente valor de la serie será 16 x 2 = 32.

Para este tipo de series, no tenemos un método tan mecánico como el que utilizábamos en las series aritméticas. Aquí tendremos que ir probando a multiplicar, cada elemento, con diferentes números, hasta dar con el valor adecuado.

Vamos a probar con este otro ejemplo. Encuentra el siguiente elemento de esta serie:

2 · -6 · 18 · -54 · ?

En este ejemplo, el signo de cada elemento va alternando entre positivo y negativo, lo que nos indica que nuestro factor de multiplicación será un número negativo. Tenemos que:
2 × -3 = -6
-6 × -3 = 18
18 × -3 = -54

así que, el siguiente valor de la serie, lo obtenemos multiplicando -54 × -3 = 162.

Las pruebas psicotécnicas, normalmente, son de tipo test, donde tenemos que marcar la respuesta correcta, entre las que tenemos disponibles. Esto, nos puede ayudar a comprobar si nos hemos equivocado en nuestros cálculos, pero también puede jugar en nuestra contra, cuando vamos rápido contestando las preguntas. Imagina que las respuestas disponibles para la serie anterior son las siguientes:
a)      -152
b)      -162
c)       Ninguna de las anteriores

Si no nos fijamos, podemos marcar erróneamente la opción b) en la que el valor es correcto pero el signo está mal.

Para aumentar la confusión, la otra respuesta posible, también tiene signo negativo, lo que puede hacernos creer que nos hemos equivocado con el signo. La respuesta correcta sería la opción “c”.

El examinador, es consciente de que, disponer de varios resultados para escoger, simplifica la tarea de resolver el problema, por lo que probablemente intentará crear confusión con las respuestas disponibles.

La dificultad asociada a este tipo de series, está en que, si tenemos números grandes, tendremos que hacer cálculos complicados, por lo que es muy importante dominar las tablas de multiplicar y ser capaces de realizar mentalmente, operaciones con números de 2 o 3 dígitos, ya que, no siempre dispondremos de papel y lápiz para hacer los cálculos.

Series geométricas de factor variable

Vamos a complicar un poco más, las series geométricas que habíamos visto, haciendo que el factor de multiplicación sea un valor variable. Es decir, el factor por el que multiplicaremos cada elemento, se incrementará como si fuera una serie numérica.

Empecemos con un ejemplo. Tómate un tiempo para intentar resolver esta serie:

2 · 2 · 4 · 12 · 48 · ?

¿Lo has conseguido? Esta serie, no se puede resolver con los métodos que hemos visto hasta ahora, ya que no podemos encontrar un valor fijo, que nos permita obtener cada elemento a partir del anterior mediante una multiplicación.

Así que, vamos a buscar el factor, por el que tenemos que multiplicar cada elemento para obtener el siguiente, a ver si nos da alguna pista:

Serie secundaria: ×1 · ×2 · ×3 · ×4 · ?

Vemos que, para conseguir cada elemento de la serie, hemos de multiplicar por un factor, que se va incrementando, según una serie aritmética creciente.

Si calculamos el siguiente valor de esta serie secundaria, el 5, tenemos el factor, por el que hemos de multiplicar, el último valor de la serie principal, para obtener el resultado: 48 x 5 = 240.

En este caso, la serie secundaria se trataba de una serie aritmética, pero también podemos encontrarnos, con series geométricas u otras, que veremos más adelante.

Intenta ahora, resolver esta serie:

1 · 2 · 8 · 64 · ?

¿Lo tienes? En este caso, si obtenemos la serie secundaria con los multiplicandos nos encontramos con esto:

×2 · ×4 · ×8 · ?

Que, claramente, es una serie geométrica, en la que cada elemento, se calcula multiplicando el anterior por 2, por lo que el siguiente factor, será 16, y este, es el número por el que hemos de multiplicar el último valor de la serie principal, para obtener el resultado: 64 x 16 = 1024.

Series con potencias

Hasta ahora, todas las series que hemos visto evolucionaban según operaciones de suma, resta, multiplicación o división pero también es posible que utilicen las potencias o las raíces.

Normalmente nos encontraremos con potencias de 2 o de 3, si no, los números obtenidos son muy grandes, y se dificulta la resolución del problema con cálculos complejos, cuando lo que se busca con este tipo de problemas, no es tanto las aptitudes de cálculo, si no la habilidad para la deducción, el descubrimiento de patrones y de reglas lógicas.

Es por ello, que es muy útil, memorizar las potencias de 2 y de 3 de los primeros números naturales, para detectar fácilmente este tipo de series.

Comencemos con un ejemplo:

0 · 1 · 4 · 9 · 16 · ?

Si intentamos encontrar una relación, que nos permita encontrar cada elemento con los métodos que hemos utilizado hasta ahora, no llegaremos a ninguna conclusión. Pero si conocemos las potencias de dos, (o cuadrados), de los primeros números naturales, veremos enseguida, que esta serie es la sucesión de los cuadrados desde el cero hasta el 4: 0² · 1² · 2² · 3² · 4²

Por lo que el siguiente elemento será 5² = 25.

Vamos a ver un último ejemplo, a ver qué tal se te dan este tipo de problemas. Intenta resolver esta serie:

-1 · 0 · 1 · 8 · 27 · ?

Este caso quizás, no es tan evidente, pero te ayudará conocer las potencias de 3 (o cubos) ya que enseguida reconoceremos los valores y veremos que la serie se obtiene al calcular los cubos desde el -1 hasta el 3: -1³ · 0³ · 1³ · 2³ · 3³

Ahora vemos claramente que el siguiente elemento será 4³ = 64.

Series alternativas

En todas las series que hemos visto hasta ahora, la manera de conseguir el siguiente elemento ha sido aplicando cálculos matemáticos, pero existen muchos casos en los que no es necesario realizar ninguna operación matemática para dar con el resultado.

Aquí, el límite está en la imaginación del examinador, pero vamos a darte suficientes pautas para que puedas resolver la mayor parte de las series de este tipo que te puedes encontrar.

Series de Fibonacci

Reciben este nombre gracias a Fibonacci, que es el matemático que dio a conocer este tipo de series, y aunque en la sucesión original se utiliza la suma para calcular los elementos de la serie, aquí agruparemos todas las series cuyos elementos se obtienen únicamente a partir de sus propios miembros, independientemente de que necesitemos utilizar la suma, el producto o cualquier otro tipo de operación matemática.

Vamos a ver un ejemplo. Mira esta serie:

2 · 3 · 5 · 8 · 13 · 21 · ?

¿Eres capaz de encontrar el siguiente término? Vamos a intentar resolverla con los métodos que conocemos.

Como los números no crecen muy deprisa, vamos a suponer que se trata de una serie aritmética y aplicaremos el método que conocemos para intentar llegar a alguna conclusión.

Al calcular la resta entre cada pareja de elementos nos aparece esta serie secundaria: 1   2   3    5    8

Vemos que no se trata de una serie con incremento fijo, así que vamos a ver si se trata de una serie con incremento variable:

Si calculamos de nuevo la diferencia entre cada dos elementos de esta nueva la serie obtenemos lo siguiente: 1    1   2    3

¡Tampoco es una serie aritmética de incremento variable! Hemos aplicado los métodos que conocemos y no hemos llegado a ninguna conclusión, así que vamos a hacer uso de nuestra capacidad de observación.

Si nos fijamos en los valores de la serie secundaria, vemos que son los mismos que los de la serie principal pero desplazados una posición.

Esto significa que la diferencia entre un elemento de la serie y el siguiente es exactamente el valor del elemento que le precede o lo que es lo mismo, cada nuevo valor se calcula como la suma de los dos elementos anteriores. Así que el siguiente elemento lo calcularemos sumando al último número el que le precede en la serie: 21 + 13 = 34. ¡Conseguido!

Hay que tener en cuenta que en este caso, los dos primeros términos de la serie no siguen ningún patrón definido, simplemente son necesarios para poder calcular los siguientes elementos.

Este es un caso sencillo, pero también es posible encontrar series que utilicen operaciones distintas a la suma. Vamos a complicarlo un poco más. Intenta descubrir el valor que sigue en esta serie:

1 · 2 · 2 · 4 · 8 · 32 · ?

En este caso, sí que vemos que los valores aumentan muy rápidamente, lo que nos da una pista, de que seguramente se trate de una serie geométrica en la que tendremos que utilizar la multiplicación, pero, claramente no se trata de una serie con incremento por multiplicación de un valor fijo. Si intentamos obtener los factores de multiplicación, para ver, si el incremento se calcula con una multiplicación por un valor variable vemos lo siguiente: ×2 · ×1 · ×2 · ×2 · ×4

Si nos fijamos, vemos que de nuevo los valores de la serie principal, se repiten en la serie secundaria, por lo que podemos concluir que el siguiente valor de la serie secundaria será el valor que sigue al 4 en la serie principal, es decir, el 8 y por lo tanto al multiplicar 32 x 8 = 256 obtendremos el siguiente valor de la serie.

Vamos a hacer un último ejercicio sobre este tipo de series. Intenta resolverlo:

-4 · 1 · -3 · -2 · -5 · -7 · ?

Saber el tipo de serie que estamos tratando, nos facilita mucho las cosas, ya que enseguida podemos ver, que, cada valor, se obtiene como la suma de los dos anteriores por lo que la respuesta es -5 + (-7) = -12.

En los ejemplos que hemos visto en este apartado, todos los cálculos se basaban en utilizar los dos anteriores valores de la serie, pero, te puedes encontrar con casos en los que se utilicen más de 2 elementos o incluso elementos alternos. Vamos a ver un par de ejemplos de este tipo. Intenta resolverlos con las indicaciones que te hemos dado:

3 · 3 · 4 · 10 · 17 · 31 · ?

En este caso, es evidente que no basta con sumar dos términos para obtener el siguiente, pero, si probamos a sumar tres, vemos que conseguimos el resultado esperado:

3 + 3 + 4 = 10
3 + 4 + 10 = 17
4 + 10 + 17 = 31

Así que, el siguiente término será igual a la suma de los tres últimos elementos: 10 + 17 + 31 = 58.

Y ahora un último ejemplo de este tipo de series:

1 · 1 · 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · ?

Esta serie no es trivial, pero si has estado atento a las pistas, habrás probado a sumar números alternos, y quizás hayas dado con la solución. Los tres primeros elementos se necesitan para obtener el primer valor calculado, que se obtiene como la suma del elemento anterior más el que se encuentra tres posiciones más allá, es decir:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
2 + 4 = 6

Por lo que el siguiente elemento será 3 + 6 = 9.

Series con números primos

Mira esta serie:

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · ?

Puedes intentar resolverla, utilizando cualquiera de los métodos que hemos visto hasta ahora y no conseguirás nada. En este caso, el secreto está en los números primos, que son aquellos que sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad, teniendo en cuenta que el 1 no se considera un número primo.

Los elementos de esta serie son los primeros números primos, por lo que encontrar el siguiente valor no depende de que realicemos ninguna operación matemática si no de que nos hayamos dado cuenta de esto.

En este caso, el siguiente elemento de la serie será el 23 que es el siguiente número primo.

Igual que nos resulta útil, memorizar las primeras potencias de los números naturales para resolver más fácilmente algunas series, es importante también conocer los números primos para detectar más rápidamente este tipo de series.

Cambios en la posición y alteración de los dígitos individuales

Sabemos que los dígitos son las cifras individuales que componen cada número. Por ejemplo, el valor 354 está formado por tres dígitos: el 3, el 5 y el 4.

En este tipo de series, los elementos se obtienen modificando los dígitos de forma individual. Veamos un ejemplo. Intenta resolver esta serie:

7489 · 4897 · 8974 · 9748 · ?

Esta serie no sigue ningún patrón matemático claro, pero, si nos fijamos con atención, podemos ver que los dígitos de cada uno de los elementos de la serie, son siempre los mismos pero cambiados de orden. Ahora sólo falta ver cuál es el patrón de movimiento que siguen las cifras.

Aquí no hay leyes universales, se trata de ensayo y error. Normalmente, los dígitos van rotando o se van intercambiando. También puede ocurrir que los dígitos aumenten o disminuyan cíclicamente o que oscilen entre varios valores.

En este caso concreto, podemos ver que los números parece que se desplazan hacia la izquierda y el número del final pasa a la posición de las unidades. Por lo tanto el siguiente valor de la serie volverá a ser el número inicial: 7489.

Aumento o disminución del número de cifras

Es habitual encontrarnos a veces con series que tienen números muy grandes. Es poco probable que el examinador pretenda que realicemos operaciones con número de 5 o más cifras, por lo que en estos casos, hay que buscar comportamientos alternativos.

En este tipo de series lo que cambia es la cantidad de dígitos de cada elemento. Vamos a ver un ejemplo. Intenta encontrar el siguiente elemento de esta serie:

1 · 12 · 312 · 3124 · 53124 · ?

En muchos casos, el aspecto visual de los números nos ayudará a dar con la solución. En esta serie vemos que, aparece un dígito más, con cada nuevo elemento y que los dígitos del elemento anterior también aparecen como parte del valor.

El dígito que aparece en cada nuevo elemento sigue una serie incremental y aparece alternativamente a derecha e izquierda. La serie comienza con el 1, luego aparece el 2 a la derecha, en el siguiente término aparece el 3 a la izquierda y así sucesivamente, por lo que para obtener el último término tendremos que añadir el número 6 a la derecha del último elemento de la serie y nos quedará: 531246.

Otros casos

El límite en la complejidad de las series está limitado únicamente por la imaginación del examinador. En las preguntas más complejas del test podemos encontrarnos con cualquier cosa que se nos pueda ocurrir. Te vamos a proponer un ejercicio un tanto peculiar a modo de ejemplo. Intenta encontrar el término que sigue en esta serie:

1 · 11 · 21 · 1211 · 111221 · ?

La verdad es que esta serie, no hay por dónde cogerla. Podemos suponer, que no se trata de una serie convencional, ya que el crecimiento de los números es muy extraño. Esto nos puede dar una pista de que la solución no la obtendremos haciendo cálculos sino viendo como progresan los números.

Vamos a ver la solución. El primer valor es la semilla de la serie y nos viene normalmente impuesto así que comenzaremos con el siguiente término, el 11. El secreto de esta serie es que, cada elemento es, una representación numérica de los dígitos que aparecen en el término anterior.

El primer elemento es un uno: 11
El segundo elemento está formado por dos unos: 21
El tercer elemento contiene un dos y un uno: 1211
El cuarto tiene un uno, un dos y dos unos: 111221
Por lo tanto, el siguiente elemento será: tres unos, dos doses y un uno: 312211

No podemos prepararte para todo lo que te puedes encontrar pero si queremos ayudarte a abrir tu mente y tu imaginación para que te plantees todo tipo de posibilidades.

Series con fracciones

Las fracciones son expresiones, que indican una cantidad de porciones que se toman de un todo. Se expresan como dos números separados por una barra que simboliza la división. En la parte superior (a la izquierda en nuestros ejemplos), llamada numerador, se indica el número de porciones y en la parte inferior (a la derecha en nuestros ejemplos), llamada denominador, se indica la cantidad que forma el todo. Por ejemplo, la fracción 1/4 representa la cuarta parte de algo (1 porción de un total de 4) y tiene como resultado 0,25.

Las series con fracciones serán similares a las que hemos visto hasta ahora con la salvedad de que en muchas ocasiones, los examinadores, juegan con la posición de los dígitos a la hora de obtener los elementos de la serie.

Veamos una serie sencilla de ejemplo:

1/3 · 1/4 · 1/5 · ?

No hace falta saber mucho de fracciones ni ser un lince para descubrir que el siguiente elemento de la serie será 1/6, ¿verdad?

La dificultad de las series con fracciones radica en que en ocasiones podemos tener una serie para el numerador y otra distinta para el denominador o nos podemos encontrar con una serie que trata ambas partes de la fracción como un todo. También incrementa la dificultad la simplificación de fracciones ya que un mismo valor se puede expresar de varias formas distintas, por ejemplo ½ = 2/4. Veamos un caso de cada tipo:

1/2 · 1 · 3/2 · 2 · ?

Si no estás habituado a trabajar con fracciones quizás tengas que hacer un poco de reciclaje para coger soltura con las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con fracciones.

En este ejemplo, cada término es el resultado de sumar la fracción ½ al valor anterior. Si al primer valor le sumamos ½ obtenemos 2/2 que es igual a 1 y así hasta el final, de manera que el último elemento será 2 + ½ = 5/2.

Bien, hemos visto un caso sencillo que no es más que una serie aritmética con incremento fijo pero utilizando fracciones. Vamos a complicarlo un poco más. Intenta encontrar el siguiente término de esta serie:

1/3 · 4/6 · 7/9 · 10/12 · ?

Si te fijas atentamente, verás que en este caso se está tratando la fracción como dos series distintas, una que avanza en el numerador sumando 3 al anterior y otra en el denominador que también suma 3 al denominador anterior. En este caso no tenemos que pensar tanto en una fracción como un valor numérico único si no como dos valores independientes separados por una línea. El siguiente término será 13/15.

Cuando tenemos series de fracciones, gran parte de la dificultad está en discernir si las fracciones se tratan como valores únicos o como valores independientes de numerador y denominador.

Volviendo a la última serie que hemos visto, piensa que también puedes encontrar las series de fracciones simplificadas lo que dificulta enormemente su resolución. Mira cómo quedaría la serie anterior con los términos simplificados:

1/3 · 2/3 · 7/9 · 5/6 · ?

La serie es exactamente la misma y la solución también, pero es mucho más difícil de resolver.

Vamos a ver otro caso bastante más complicado. Te daré una pista. Las fracciones se tratan como dos valores independientes de numerador y denominador:

6/3 · 3/4 · 18/15 · 7/8 · ?

Y estas son las posibles respuestas:

a)      14/11
b)      27/30
c)       10/9

¿Has intentado resolverlo? ¿Has llegado a alguna conclusión? Vista así, esta serie parece que no sigue un criterio claro. Los términos aumentan y disminuyen casi al azar.

Ahora vamos a reescribir la serie con los términos sin simplificar:

6/3 · 9/12 · 18/15 · 21/24 · ?

¿Qué tal ahora? Ves algún patrón. Tal como hemos comentado, en este caso, los números de las fracciones se tratan como valores independientes. Si te fijas verás que comenzando con el denominador del primer término, se suma 3 para conseguir el numerador y se vuelve a sumar 3, para conseguir el numerador del segundo término, al que sumamos de nuevo 3 para obtener el denominador y así, haciendo una especie de zigzag con los números hasta llegar al último término por lo que el valor que buscamos es 30/27. Pero si miramos las soluciones posibles, vemos que la opción b) invierte los valores de numerador y denominador por lo que se trata de un valor distinto pero si probamos a simplificar la fracción 30/27, obtenemos 10/9 que es la respuesta c).

A parte de todo lo visto, hay que tener en cuenta que al igual que en las series con números enteros, es posible que el incremento se consiga multiplicando por un valor o con un factor que aumenta o disminuye en cada término. Vamos a ver un ejemplo complejo para cerrar este apartado:

1 · 2 · 2 · 8/5 · 40/35 · ?

En este caso, avanzaremos por prueba y error: Para conseguir 2 a partir de 1, podemos sumar 1 o multiplicar por 2. Si intentamos obtener el resto de valores con estos términos fijos vemos que ya no sirven para obtener el tercer elemento. Supondremos entonces que se trata de una serie aritmética así que calcularemos la diferencia entre cada dos términos a ver si llegamos a alguna conclusión:

Serie secundaria: 1 · 0 · -2/5 · -16/35

No parece que haya ningún patrón claro, así que vamos a reescribir estas fracciones con un denominador común que será 35. Nos quedaría esto:

Serie secundaria: 35/35 · 0/35 · -14/35 · -16/35

Tampoco parece que lleguemos a ninguna parte, así que vamos a tratar nuestra serie como una serie geométrica. Calcularemos ahora el valor por el que hay que multiplicar cada término para obtener el siguiente:

Serie secundaria: ×2 · ×1 · ×4/5 · ×5/7

Estos números ya parecen más asequibles pero no nos dan una secuencia clara. Quizás están simplificados. Siguiendo el progreso de los dos últimos elementos de esta serie secundaria dónde el numerador se incrementa en uno y el denominador en dos, vemos que el segundo término se puede reescribir como 3/3 = 1, y siguiendo el mismo criterio tenemos que el primer número debería ser 2/1 ¡y así es!

Esta sería la serie sin simplificar para verlo más claro:

Serie secundaria: ×2/1 · ×3/3 · ×4/5 · ×5/7

Por lo tanto, hemos llegado a la conclusión de que se trata de una serie geométrica, en la que, la fracción que se utiliza para obtener cada elemento, aumenta en una unidad en el numerador, y en dos unidades en el denominador, así que el siguiente término será 6/9 y si lo multiplicamos por el último término de la serie principal tenemos que 40/35 x 6/9 = 240/315 que simplificado, nos queda 48/63.

Todos los conceptos que hemos visto en este apartado, podrás aplicarlos también en las series de fichas de dominó, ya que se pueden tratar como fracciones, con la única salvedad de que los números van del cero al seis de forma cíclica por lo que se considera que después del seis va el cero y antes del cero va el seis.

Series con factor compuesto

En todas las series que hemos visto hasta ahora, el factor que utilizábamos para calcular el siguiente término era un único valor, o serie de valores, sobre el que realizábamos una sola operación para obtener cada elemento. Pero para complicar un poco más las cosas, esos factores también pueden estar compuestos por más de una operación. Vamos a resolver este ejemplo para verlo más claramente:

1 · 2 · 5 · 10 · 17 · ?

Se trata de números que crecen muy rápidamente, por lo que podemos pensar en una serie geométrica o en una potencia, pero no encontramos valores enteros ni potencias que nos generen exactamente los valores de la serie. Si nos fijamos un poco, vemos que los valores de la serie son sospechosamente cercanos a los cuadramos de los primeros números naturales: 1, 4, 9, 16 de hecho están exactamente a una unidad de distancia por lo que podemos deducir que los valores de esta serie se obtendrán comenzando por el cero y calculando el cuadrado de cada número entero y sumándole 1.

Este es un caso concreto que utiliza suma y potencia pero podríamos tener cualquier combinación de suma/resta con producto/división y potencia.

Series discontinuas

Hasta ahora, en todas las series, en las que realizábamos algún cálculo sobre los números naturales, para obtener los elementos de la serie, hemos utilizado números consecutivos, pero también es posible que la forma de construir la serie sea aplicando un cálculo sobre los números pares (2, 4, 6, …), por ejemplo o sobre los números impares (1, 3, 5, …) o sobre uno de cada tres números (1, 3, 5, 6, …) o incluso que esta separación se incremente en cada elemento (1, 2, 4, 7, 11, …).

Veamos un caso. Intenta encontrar el siguiente elemento de esta serie:

2 · 10 · 26 · 50 · ?

Sabiendo el tipo de series que estamos tratando, está claro que se obtiene a partir de algún tipo de cálculo, sobre un subconjunto de los números naturales.

Viendo que los valores crecen rápidamente, podemos deducir que se tratará de una progresión de tipo geométrico, ya sea por multiplicación o potencia, y si tenemos en mente los números cuadrados veremos enseguida que se trata de potencias de 2 + 1.

Pero aquí, el cálculo, no se aplica a todos los números naturales, si no sólo a los impares. Podemos reescribir la serie de esta forma, para verlo más claramente:

1²+1 · 3²+1 · 5²+1 · 7²+1 · ?

Por lo que el siguiente elemento será 9²+1 = 82.

Múltiples series intercaladas

Para complicar las cosas un poco más, algunos examinadores intercalan dos u más series distintas, para formar una sola. Intenta resolver esta serie:

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 8 · 7 · 16 · 9 · ?

Nos las prometíamos felices, ya que los primeros números parecen consecutivos, pero después del 5, todo se viene abajo. Podemos intentar todos los métodos vistos hasta ahora, pero no tendremos éxito, ya que en este caso lo que tenemos son dos series distintas intercaladas, una formada por los elementos de las posiciones impares (1 · 3 · 5 · 7 · 9) y otra formada por los elementos de las posiciones pares (2 · 4 · 8 · 16 · ?).

Si las escribimos por separado, vemos fácilmente que tenemos una serie aritmética con factor 2 que comienza con el valor 1, intercalada con otra serie geométrica con factor 2 y que comienza con el valor 2.

Visto así, es sencillo darse cuenta de que el siguiente valor de la serie completa, será el siguiente valor de la serie geométrica. Como cada elemento se obtiene de multiplicar por 2 el anterior, la solución será 16×2 = 32.

Es poco habitual que haya más de dos series intercaladas, pero obviamente, es posible. Una pista que nos puede ayudar a detectar las series múltiples, es que suelen ser más largas que las series convencionales, ya que necesitamos más información para obtener los factores.

Vamos a ver un último ejercicio en este apartado:

2 · 1 · 5 · 2 · 8 · 9· 11 · 28 · 14 · ?

La primera pista la tenemos en que la serie es muy larga, lo cual es indicativo de que probablemente se trate de una serie múltiple así que vamos a separar los términos para intentar solucionarla: (2 · 5 · 8 · 11 · 14) Esta primera parte se trata de una serie aritmética con factor fijo +3, aunque no nos sirve para calcular el resultado ya que el siguiente término es de la otra serie: (1 · 2 · 9 · 28 · ?). Esta serie parcial crece muy rápidamente así que probablemente se tratará de una serie geométrica de algún tipo. Si tenemos en mente las potencias al cubo de los primeros números enteros (0, 1, 8, 27) vemos que sólo hay una unidad de distancia con los números de la serie, por lo que deducimos que los elementos se calculan elevando los números enteros al cubo y sumando 1, así que el siguiente término de la serie será 4³ + 1 = 65.

Cálculo de valores centrales

Normalmente, en los test psicotécnicos, nos piden encontrar el último término de una serie, pero también puede ocurrir que el elemento que nos pidan sea uno de los centrales o incluso el primero.

La manera de actuar aquí, es en esencia, la misma que hasta ahora, sólo que al faltar un término intermedio, cuando buscamos los factores tendremos dos interrogantes en la serie secundaria. Veamos algunos casos para aclarar esto. Comencemos con un caso sencillo:

5 · 8 · ? · 14 · 17

Los elementos crecen lentamente, por lo que supondremos que se trata de una serie aritmética, y buscaremos la diferencia entre cada pareja de términos:

Serie secundaria: 3 · ? · ? · 3

En este caso, al faltarnos un elemento central en la serie principal tenemos dos incógnitas en la serie secundaria, por lo que nos fijaremos en los elementos que sí hemos podido obtener. Curiosamente son el mismo número, así que probaremos a ver qué pasa si sustituimos las dos incógnitas de la serie secundaría por 3. Tenemos que el término buscado sería 8 + 3 = 11 y ahora sólo nos quedaría calcular el siguiente término para confirmar que nuestra suposición era correcta: 11 + 3 = 14. ¡Perfecto! Se trata de una serie aritmética con factor fijo igual a 3.

Pongamos un ejemplo más complicado, a ver si puedes resolverlo:

5 · 9 · ? · 21 · 25 · 33 · 37

Podemos comenzar buscando la diferencia entre cada dos términos, ya que la serie crece lentamente y podría tratarse de una serie aritmética, pero rápidamente vemos que esto no nos conduce a nada. Tampoco encontraremos nada buscando un factor por el que multiplicar los elementos ya que la diferencia entre valores es pequeña. Podríamos tener dos series distintas intercaladas pero tras unos pocos intentos tampoco daremos con nada. Entonces… ¿qué tal si probamos con los números primos? Está claro que los números que vemos no son primos pero quizás estén multiplicados por algún factor, así que vamos a escribir los primeros números primos y vamos a intentar convertirlos en estos: 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19

Para convertir el 2 en el 5, podemos multiplicar por 3 y restar 1 o multiplicar por dos y sumar 1. Vamos a ver si con alguna de estas opciones conseguimos obtener el segundo elemento de la serie, pero es imposible obtener el 9 a partir del 3 utilizando las operaciones mencionadas.

¿Qué más podemos probar? ¿y si el primer elemento de la serie se corresponde con otro número primo? Probemos con el 3. Para convertirlo en 5 hay que multiplicarlo por 2 y restarle 1. De acuerdo, vamos a hacer esta misma operación con el siguiente número primo: 5 * 2 – 1 = 9, ¡coincide! Si calculamos el término que nos falta utilizando este factor obtenemos el valor 13, pero tenemos que asegurarnos, calculando el resto de valores, y vemos que todos se pueden obtener, con el factor que hemos calculado, a partir de la lista de números primos.

Calcular series en las que nos piden el valor inicial es más sencillo ya que basta con darle la vuelta a todos los números para tener una serie con la incógnita al final.

Las 4 reglas de oro para superar los test psicotécnicos

Se trata de un conjunto de normas no escritas que hay que tener siempre en cuenta a la hora de responder las preguntas de un test psicotécnico y que recopilamos en este apartado:

1.- El proceso lógico, que nos permite deducir el siguiente valor de una serie, debe repetirse por lo menos dos veces en la serie del enunciado.

Vamos a explicarlo un poco mejor. Mira esta serie:

2 · 4 · ?

Estas son las respuestas posibles:

a)      8
b)      6
c)       16

¿Cuál es la respuesta correcta?

Podríamos suponer que cada término se calcula multiplicando por 2 el valor anterior, por lo que la respuesta sería 8, o podríamos suponer que se trata de los primeros números naturales multiplicados por 2 con lo que el resultado sería 6. Con la primera opción, únicamente tenemos una repetición de nuestro proceso lógico, ya que el primer valor vendría impuesto y lo multiplicaríamos por dos para obtener el segundo valor. Con la segunda opción, tanto el primer valor de la serie como el segundo los obtenemos utilizando el mismo factor (números naturales multiplicados por dos) por lo que tenemos dos repeticiones de nuestro proceso lógico, uno para calcular el primer valor y otro para calcular el segundo, así que esta debería ser la respuesta válida.

2.- Si hay varias soluciones posibles, la respuesta correcta es la más sencilla.

Imagínate que tienes la siguiente serie:

1 · 2 · 3 · ?

Después de todas las posibilidades que hemos visto, podemos continuar la serie de varias maneras distintas. La más obvia es con el 4, pero también podríamos responder que se trata de la serie de Fibonacci por lo que la respuesta sería 5. Por lo general, la respuesta correcta siempre será la que siga el proceso lógico más simple, en este caso el 4.

En el caso de las fracciones, si hay varias respuestas posibles que simbolizan el mismo valor, por ejemplo 2/3 y 8/12, por lo general, la respuesta correcta será la fracción simplificada, en este caso 2/3.

3.- Si te atascas con una pregunta déjala para el final.

Esta es una norma universal de los test psicotécnicos. Es posible que se nos resistan algunas preguntas, así que deberíamos dejarlas para más adelante y continuar con las siguientes. Una vez llegamos a la última pregunta, es hora de repasar las que no hemos contestado, preferentemente, por orden de aparición en el test, ya que las preguntas acostumbran a estar ordenadas por dificultad.

4.- La práctica es tu mejor aliado.

Practicar con test psicotécnicos reales, es la mejor manera de mejorar, y conseguir que los procesos cognitivos necesarios para resolver este tipo de problemas, te resulten casi mecánicos.

Sólo la práctica, nos ayudará a descubrir, a qué tipo de serie nos estamos enfrentando, para poder aplicar el método de resolución correspondiente.

Intenta memorizar las potencias de 2, las potencias de 3, los números primos y practica el cálculo mental, para conseguir agilidad al resolver las operaciones.

A continuación te proponemos algunos enlaces en los que encontraras pruebas de este tipo para practicar:

http://www.psicoactiva.com/tests/series-numericas.asp
https://ci-training.com/test-series-numericas.asp

Todas las técnicas que hemos visto, también te serán útiles en muchos otros tipos de preguntas, como las series de dominó o las series de letras, en las que el mecanismo de construcción de las series es, en esencia, el mismo.

También tienes disponible este material en vídeo:

Test para practicar para oposiciones

Series numéricas en los test psicotécnicos, cómo superarlas
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